«

»


Print this Post

‘பொய்பித்தல்வாதம் Vs பேய்சியன் வாதம்’ – 2 – இளையராஜா


 

einstein1_7

2 பகடை உணர்த்தும் மெய்மை

அறிவு கூர்மையாகும் தோறும் இயற்கையைப் பற்றிய நம் சித்திரம் மாறுபடுகிறது.  கார்த்தவீரியன். ஆயிரம் கைகளைக் கொண்டவன் என்கிறது புராணம். இயற்கை கோடானுகோடி கைகளைக் கொண்டது. மேலும் மேலும் கோடிக்கணக்கான கைகளுடன் ஒவ்வொரு கணமும் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் புதிதாகப் பிறந்து வருவது. அனைத்து கைகளையும் பின்னிப்பிணைத்து, கோர்த்து, விரித்து, அலைஎழுப்பி ஒற்றை நடனமிடுகிறது. அழைக்க, அரவணைக்க, மிரட்ட என எண்ணில் அடங்கா மெய்ப்பாடுகளைக் கொண்டது. எந்த நரம்பு முடிச்சு எந்தக் கையை எப்போது அசைக்கிறது என்று அறிய முடியாத மர்மம் நிறைந்தது.

சிக்கலான கூறுகளைக் கொண்ட இந்த இயற்கையின் முன் திகைத்து நிற்கிறது இருமையின் எளிய தர்க்கம்.

மெய்யா பொய்யா மாயமா?

இதுவா அதுவா அல்லது அனைத்துமா?

சூன்யமா பூர்ணமா இடைநிலையா?

இந்த தத்தளிப்பு கண்டுகொண்டதுதான் நிகழ்தகவை அடிப்படையாகக் கொண்ட கணித தர்க்கம். இருபதாம் நூற்றாண்டில் ஆரம்பித்து  மிகச் சிக்கலான தளத்தை நோக்கி வந்துவிட்ட நவீன அறிவியலின் தர்க்கம். பொதுவாக இரு சூழல்களில் நிகழ்தகவு மீள மீள வருகிறது. ஒன்று நிகழ்வுகளில் உள்ள அடிப்படை randomness வழியாக. இரண்டாவது ஒன்றைப் பற்றிய மானுட அறிவு முழுமையாக இல்லாதபோது. அதாவது அறியாமையின் அல்லது நிச்சயமற்றத்தன்மையின் வழியாக.

நவீன அறிவியலின் வளர்ச்சிப் பாதையின் பெரும்பாலான புள்ளிகளில் நாம் தோராயமாகத்தான் எதையும் சொல்லமுடியும் என்ற நிலை ஏற்பட்டது. இருபதாம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பித்தில் முன்வைக்கப்பட்டது குவாண்டம் கோட்பாடு. இது நம் பிரபஞ்சப் பார்வையே மாற்றி அமைத்தது. இந்தக் கோட்பாடு முன்வைக்கும் உண்மைகள் நிகழ்தகவை அடிப்படையாகக் கொண்டதாக இருந்தன.

அறிவியல் என்ன செய்கிறது என்ற கேள்விக்கு ரிச்சர்ட் பெயின்மேனின் ஒரு நல்ல உதாரணம் உண்டு. நம் பிரபஞ்சம் கணக்கற்ற காய்கள் நிறைந்த ஒரு பிரம்மாண்டமான முடிவற்ற சதுரங்கப் பலகை. தொடக்கத்தில் அதன் விதிகள் என்ன என்று நாம் அறியோம். ஆனால் மாயக்கரங்களால் நகர்த்தப்படும் காய்களை மட்டும் கவனித்துக்கொண்டே இருக்கிறோம். சில காய்கள் நேர்கோட்டிலும் சில சாய்கோணத்திலும் நகர்த்தப்படுகின்றன. சில தடைகளைத் தாண்டி குதிக்கின்றன. மெல்ல மெல்ல யானையின், மந்திரியின், படைவீரர்களின் ஒழுங்கு நமக்கு பிடிபட ஆரம்பிக்கிறது. ஆனாலும் சில சமயம் Castling போல புரிந்து கொள்ள முடியாத நிகழ்வுகளும் நிகழ்ந்து கொண்டுதான் இருக்கின்றன.

ஆனால் களத்தின் மூலையில் ஓரிரு காய்கள் மட்டுமே நிற்கும் சிக்கலற்ற சூழல்களில் காய்நகர்வு விதிகளை துல்லியமாக அறிய முடியும். அறிவியல் செய்ய முயல்வது அதைத்தான்.

உதாரணமாக,

ஐன்ஸ்டீனின் சிறப்பு சார்பியல் கோட்பாட்டின் இரு கருதுகோள்கள் இவை.

  1. அனைத்து inertial frames –களிலும் அறிவியல் விதிகள் மாறாதது.2. அனைத்து inertial frames –களிலும் ஒளியின் வேகமும் மாறாதது.

இவை சிறப்பு சார்புகொள்கையின் கருதுகோள்கள். சார்பு கோட்பாடு முன்வைக்கும் கணிப்பகளை உண்மையென்று பரிசோதனைகள் மூலம் நிறுவ முடியும்.

இதுபோல ‘எளிய’ கணிப்புகளும் உண்மை பொய் என்று நிறுவதும் இன்றைய நிலையில் பெரும்பாலும் இல்லை. அறிவியல் வளர வளர அதன் கருதுகோள்கள், கோட்பாடுகள், கணிப்புகள், பரிசோதனை முடிவுகள் போன்றவை சிக்கலானவையாக ஆகிவிட்டன. மேலும் எந்த ஒரு வளர்ச்சி புள்ளியிலும் இயற்கையைப் பற்றிய நம் அறிவு எல்லைக்குட்பட்டது.

ஏனெனில் மானுட அறிவு சேகரம் என்பது பூக்களில் இருந்து ஒவ்வொரு தேன் துளியாக எடுத்துக் கூட்டில் சேர்ப்பது போன்றது. எத்தனை தேன்துளிகள் கூட்டை அடைந்தாலும் பூக்களில் எப்போதும் தேன்துளிகள் மிஞ்சுகின்றன.

மேலும் நம்மிடம் இருப்பது முழுமையற்ற தரவுகள். இந்த தரவுகளை வைத்துக்கொண்டு உருவாக்கப்படும் கருதுகோள்களும் 100 சதம் முழுமுற்றான உண்மையாக இருக்கமுடியாது. மேலும் சில இயற்கை நிகழ்வுகள் அடிப்படையாகவே random தன்மையைக் கொண்டவை. இன்னொரு முக்கியமான விஷயம் நாம் பரிசோதனைகள் மூலம் அளக்கும் அளவுகளும் குறிப்பிட்ட பிழைத்தன்மை கொண்டவை. அதாவது மெய்யான அளவுக்கும் நாம் அளக்கும் அளவுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் அளத்தலில் உள்ள பிழை எனப்படுகிறது.

இந்தப் பிழைகளையும் முழுமையற்ற தரவுகளையும் கொண்டு நாம் எவ்வளவு துல்லியமாக நம் கூற்றுகளை முன்வைக்கமுடியும்? அதற்கான கூரிய தர்க்கமுறைமை ஏதாவது இருக்கிறதா?

  1. எல்லாப் பறவைகளும் இறகுடையவை.
  2. மைனா ஒரு பறவை.
  3. எனவே, மைனா இறகுடையது.

முதல் இரண்டு கூற்றுகளும் முற்கூற்றுகள். மூன்றாவது முடிவுக் கூற்று. முதல் இரண்டு கூற்றுகளின் உண்மைதன்மையின் மூலம் முன்றாவது கூற்றின் உண்மை உய்த்துணரப்படுகிறது மற்றும் உறுதிசெய்யப்படுகிறது. இதை deductive தர்க்கமுறைமை என்கிறோம். இந்த  முறைமையின் மூலம் ஒன்றை உண்மையென்றும் பொய்யென்றும் தர்க்க ரீதியாக நிறுவ முடியும். இதை கருப்பு வெள்ளை தர்க்கம் எனலாம். உண்மை பொய் என்ற இருமையின் வழியே பிரபஞ்சத்தைப் பார்ப்பது. இரு சாத்தியக் கூறுகளை மட்டுமே கொண்டது. முழுமுற்றான தகவல் உள்ள எளிய சூழல்களில் செல்லுபடி ஆகக்கூடிய தர்க்கம்.

ஆனால் நவீன அறிவியலுக்கு இன்னும் விரிவான தர்க்கமுறைமை தேவை. அந்த விரிவான தர்க்கமுறைமை நிகழ்தகவின் அடிப்படையில் அமைந்தது. நிகழ்தகவு சுழி, ஒன்று மற்றும் இடைப்பட்ட எண்களால் அளக்கப்படுகிறது. இங்கு பூஜ்யமும் ஒன்றும் அதன் இரு எல்லைகள். இந்த இரு எல்லைகளில் மட்டுமே வழக்கமான deductive தர்க்கம் நின்று  கொண்டிருக்கிறது. ஆக, நிகழ்தகவு முறைமை வழக்கமான deductive தர்க்கமுறையும் உள்ளடக்கி இன்னும் விரிவான தர்க்கமுறைமை ஒன்றை முன்வைக்கிறது.

முதலில் நிகழ்தகவு என்ன என்பதை நம் பொதுபுத்தி சார்ந்து வரையறுப்போம்.

1) இன்று மழைபெய்யுமா?

2) கடந்த ஒருவாரமாக கனத்த மழை.

3) இன்றும் மேக மூட்டமாக இருக்கிறது.

4) இன்றும் மழைப் பெய்ய அதிக வாய்ப்பு உள்ளது.

முதல் கூற்று நாம் எழுப்பிய கேள்வி. நான்காவது கூற்று நாம் நம்பும் பதில். இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கூற்றுகள் அவ்வாறு நாம்  நம்பப் தலைபடுவதற்கான சான்றுகள்.

நான்காவது கூற்று நூறு சதம் சரியாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளதா?

இன்னொரு கூற்றை எடுத்துக்கொள்ளவோம்.

5) 2 + 2 = 4

இந்தக் கூற்றை நூறு சதம் உறுதியாக நம்பாதவர்களை நாம் மேலும் கீழும் பார்க்கிறோம். ஆனால் கால நிலையைப் பற்றிய பொது அறிவு நாம் நான்காவது கூற்றை அந்த அளவுக்கு உறுதியாக  நம்பமுடியாது எனச் சொல்கிறது.  ஏனெனில் சூரியன் சட்டென எழுந்து மேகமூட்டம் களைந்து மழைப்பெய்யாமல் போவதற்கும் வாய்ப்பு இருக்கிறது.

வாய்ப்பு, ஒருவேளை, அனேகமாக, இருக்கக்கூடும், போன்ற சொற்களை நாம் இந்த நிச்சயமற்றத்தன்மையை வெளிபடுத்த அன்றாடம் பயன்படுத்துகிறோம். இதன் மூலம் நாம் முன்வைக்கும் கூற்றின் உறுதித்தன்மை அல்லது உறுதியற்ற தன்மை தெளிவாகிறது.

தூரத்தை அளக்க துல்லியமான அளவுகோல் உள்ளது. அதே போல நம் கூற்றின் தோராயத்தன்மையை, நம் நம்பிக்கையை அளக்க அளவுகோல் உள்ளதா? உள்ளது என்கிறது கணித தர்க்கம்.

நிகழ்தகவு என்ற முறைமை நம் நம்பிக்கையின் உறுதியை துல்லியமாக அளக்க உதவுகிறது. நாம் நம்பும், முன்வைக்கும் கூற்றை கருதுகோள் எனலாம். ஆக, கருதுகோளின் அல்லது கோட்பாட்டின் நம்பகத்தன்மையை அளவிடக்கூடிய கூரிய தர்க்கமுறையைக் கொண்டதுதான் இந்த அணுகுமுறை.

இனி கறாராக வரையறுக்க முயல்வோம்.

நிகழ்தகவு இரு மைய தத்துவ வினாக்களை எழுப்புகிறது.

  1. நிகழ்தகவின் சரியான கணித கோட்பாடு எது?
  2. நிகழ்தகவு என்றால் என்ன?

பல அறிவியல் துறைகள் நிகழ்தகவை பெரிதும் பயன்படுத்துகின்றன. உதாரணமாக, தெர்மோடைனாமிக்ஸின் இரண்டாம் விதி ஒரு அமைப்பின் entropy அதிகரிக்கும் சாத்தியம் மட்டுமே கொண்டது என்கிறது.  நிகழ்தகவு பரவல் வாயுக்களின் பண்புகளை கணிக்க உதவுகிறது. மேலும் பொருளியல், பரிணாமக்கொள்கை போன்ற துறைகளிலும் நிகழ்தகவு பயன்படுகிறது. கருதுகோள் சோதனைகள், சிறந்த மாதிரிகளை தேர்வு செய்தல்,  அளவுகளைக் கணக்கிடுதல், கருதுகோளை உறுதிப்படுத்துதல் போன்றச் செயல்களில்  நிகழ்தகவு உதவுகிறது.

  1. நிகழ்தகவின் கணித கோட்பாடு

2300 ஆண்டுகளுக்கு முன் கிரேக்க நாட்டில் வாழ்ந்த யூக்ளிட் என்பவர்  Elements என்ற புத்தகத்தை எழுதினார். இதன் பேசுபொருட்கள் வடிவகணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாடு. இந்தப் புத்தகத்தில் அதுவரை அறியப்பட்ட வடிவ, எண் கணித உண்மைகளை ஒரு பிரமாதமான தர்க்க அமைப்பின் கீழ் யூக்ளிட் தொகுத்தார். இதன் சிறப்பு என்னவென்றால் இது deductive தர்க்க அமைப்புக்கு மிகச்சிறந்த மாதிரி. இது வரையறைகள், இருவகை மெய்கோள்கள் (Axioms and postulates), தேற்றங்கள் என்ற நான்கு முக்கியமான கூறுகளைக் கொண்டது.

இது முதலில் வரையறைகளிலிருந்து (Definitions) ஆரம்பிக்கிறது.

  1. எந்தக் கூறும் அற்றது புள்ளி
  2. கோடு என்பது அகலவிரிவு அற்ற நீளம்.
  3. ஒரு கோட்டின் இரு எல்லைகள் புள்ளிகள்

இது போன்ற வரையறைகளை முன்வைத்துவிட்டு பின் அது சில வடிவகணிதம் சார்ந்த மெய்க்கோள்களை (Postulates) முன்வைக்கிறது. இவை self-evident truths.

  1. எல்லா நேர்கோணங்களும் சமமானவை
  2. இரு புள்ளிகளுக்கிடையே ஒரு நேர்கோட்டை வரையலாம்.

அதன்பின் Axioms. இதை பொது கருத்துருக்கள் (Common notions) என்று சொல்லலாம். இவை பொதுவான மனித அனுபவத்தில் பெறப்பட்ட உண்மைகள்.

  1. இரு பொருள்கள் ஒரு பொதுவான பொருளுக்கு சமம் என்றால் அவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று சமம். இதை நவீன குறியீட்டில் இப்படி எழுதலாம். If A = C & B = C, then A = B
  2. ஒன்றின் முழுமை அதன் கூறை விடப் பெரியது

கடைசியாக நிரூபிக்கப்படவேண்டிய கூற்றுகள் (Propositions). இவை ஒவ்வொன்றையும் deductive தர்க்கம் மூலம் நிரூபிக்க முடியும். நிரூபிக்கப்பட்டவை தேற்றங்கள் (Theorems) எனப்படுகின்றன. உலகப்புகழ்பெற்ற பிதாகரஸ் தேற்றம் இதன் நிரூபணங்களில் ஒன்று.

இதன் சாரம் என்னவென்றால் சில வரையறைகள், ஊக உண்மைகள் (Axioms and postulates) மட்டும் வைத்துக்கொண்டு தர்க்கத்தின் மூலம் கணித உண்மைகளை நிறுவும் முறை இது. கணிதத்தின் சுவாசம் என்று சொல்லலாம்.

இந்த ஊக உண்மைகளை கட்டுமானப்பொட்களுடன் ஒப்பிடலாம். மணல், செங்கல், சிமெண்டு, ஜல்லி, இரும்புக்கம்பி போன்ற அடிப்படை கட்டுமானப் பொருட்களை மட்டும் வைத்து அவற்றை விதவிதமாக அடுக்கி விஸ்தாரமான கட்டிடங்களை கட்டி எழுப்பி நிறுத்துவது போல. அல்லது வேறு அடிப்படை கட்டுமானப் பொருட்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றை மாற்றி அடுக்கி கொத்துசிற்ப கோயில்கள் அல்லது தாஜ்மஹால் போன்ற கலைச் சின்னங்களை எழுப்புவதைப் போல. விதவிதமான கணித கோட்பாடுகளை வேறுவேறு ஊக உண்மைகளின் தொகுப்பிலிருந்து பெறமுடியும்.

இந்த தர்க்க அமைப்பை ஒரு மாதிரியாக வைத்து நாம் நிகழ்தகவின் கணித கோட்பாட்டை புரிந்துகொள்ளலாம்.

உதாரணமாக, நிகழ்தகவின் மெய்க்கோள்கள் எவை?

ஒரு பகடையை உருட்டும்போது 1,2,3,4,5,6 எண்களில் ஒன்று விழும். ஆறு சாத்தியங்கள். அதை S = {1,2,3,4,5,6} என்று எழுதுவோம். இதை பகடையின் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கிய வெளி என்போம். பகடையை ஒரு முறை உருட்டும்போது விழும் எந்த ஒரு எண்ணும் ஒரு நிகழ்வு. அந்த நிகழ்வை A என்போம். அதன் நிகழ்தகவை P(A) என்போம்.

இந்த உதாரணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு நிகழ்தகவின் மெய்கோள்களை சொற்களில் இவ்வாறு எழுதலாம்.

1) ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவானது சுழிக்கும் ஒன்றுக்கும் (சுழியும் ஒன்றும் உட்பட) இடைப்பட்ட எண்.

2) அனைத்து நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கிய வெளியின் நிகழ்தகவு ஒன்று. அதாவது S ல் உள்ள ஏதாவது ஒரு எண் கட்டாயம் விழும்.

3) ஒரு நிகழ்வுகளின் சேர்ப்பு நிகழ்தகவானது அதன் தனித்தனி நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

மேலுள்ள மூன்று கூற்றுகளையும் குறியீட்டு வடிவில் இவ்வாறு எழுதலாம்.

1) 0 ≤ P (A) ≤ 1

2) P(S) = 1

3) P(AUB) = P(A) + P(B)

ஒரு நிகழ்தகவு வெளி என்பது இதுபோன்ற நிகழ்வுகளை மட்டும் உள்ளடக்கி இருக்கவேண்டிய அவசியம் ஏதும் இல்லை. அவை கூற்றுகளாக இருக்கலாம். அனைத்து கூற்றுகளையும் உள்ளடக்கிய வெளியை மொழி என்போம். அதன் பின் நாம் கூற்றுகளின் நிகழ்தகவைப் பற்றி பேசலாம். ஒரு கூற்றின் நிகழ்தகவு சுழிக்கும் ஒன்றுக்கும் (சுழியும் ஒன்றும் உட்பட) இடைப்பட்ட எண். ஒரு கூற்று உண்மையென்றால் அதன் நிகழ்தகவு ஒன்று. அல்லது இரு கூற்றுகளை இணைத்து இன்னொரு தர்க்கத்தை முன்வைக்கலாம். கூற்று A மற்றும் B சமான கூற்றுகள். கூற்று A கூற்று B யின் விளைவு போன்றவை.

நவீன கணிதம் வளர வளர அதன் மெய்க்கோள்களை கறாராக்கியது. ஊகங்களில் உள்ள முரண்களைக் களைந்தது. குறைந்த எண்ணிக்கையில், இன்றியமையாத ஊகங்களை மட்டும் வைத்துக்கொண்டு மற்ற அனைத்தையும் வெட்டி எறிந்தது. அதன் நிகழ்தகவு எண்களின் வகையை விரிவாக்கிக்கொண்டது. உதாரணமாக, நிகழ்தகவு குறையயெண்களையோ (Negative numbers) சிக்கலெண்களையோ (Complex numbers) கொண்டதாகக் கூட இருக்கலாம்.

இதுதான் நிகழ்தகவின் கணித கோட்பாடு செயல்படும் விதம். ஆனால் இது நிகழ்தகவு என்பது என்ன என்று இன்னும் வரையறுக்கவில்லை. இது நம்மை இரண்டாவது தத்துவ வினாவை நோக்கிச் செலுத்துகிறது.

  1. நிகழ்தகவு என்றால் என்ன?

நிகழ்தகவை வரையறுப்பதற்கு முன் சார்பு நிலை நிகழ்தகவு (Conditional probability) என்றால் என்ன ஒரு பொதுவான புரிதல் நமக்கு வேண்டும்.

மீண்டும் பகடை. பகடைகளை இருவிதமாக ஆடுவோம்.

ஆடல் 1

கண்ணைக் கட்டிக்கொண்டு ஒரு பகடையை உருட்டுகிறோம். வரும் எண்ணை யூகிக்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நம் யூகம் சரியாக இருக்க வாய்ப்பு என்ன? மொத்தம் ஆறு சாத்தியங்கள். நாம் யூகிக்கும் எந்த ஒரு எண்ணும் ஆறில் ஒரு சாத்தியம். அதாவது பின்னவடிவில் 1/6. தசம வடிவில் 0.166. சதவீத கணக்கில் 16.6 %  நம் யூகம் சரியாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளது.

ஆடல் 2

இந்தமுறை இரு பகடைகளை உருட்டுகிறோம். முதல் பகடையில் விழுந்தது 3 என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின் அடுத்த பகடையை வீசுகிறோம். இப்போது இருபகடைகளின் கூட்டுத்தொகை இரட்டைப்படையாக  இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? மொத்த சாத்தியங்களை கணக்கிடுவோம். (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6). இரட்டைப்பட சாத்தியங்கள் மூன்று. (3,1) (3,3) (3,5).   அதாவது நிகழ்தகவு பின்னவடிவில் 3/6 i.e 1/2. தசமவடிவில் 0.5. சதவீத கணக்கில் 50 %. இதற்கு சார்புநிலை நிகழ்தகவு என்று பெயர். முதல் பகடையில் மூன்று என்ற நிபந்தனை அதன் ஆறு சாத்தியத்தில்-{1,2,3,4,5,6} ஒரே ஒரு சாத்தியத்தை-(3) மட்டும் ஆடலுக்கு உட்படுத்துகிறது.

இதில் இரு நிகழ்வுகள் இருந்தன. அவற்றை A மற்றும் B என்போம். அதாவது முதல் பகடையில் மூன்று விழுந்தது A என்ற நிகழ்வு. இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை இரட்டைபடையாக இருப்பது B என்ற நிகழ்வு. குறியீட்டு வடிவில் நிகழ்தகவை P (B, A) என்று எழுதலாம். இதற்கு ‘A என்ற நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்துவிட்டது என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில் B யின் நிகழ்தகவு’ என்று பொருள். ஆங்கிலத்தில் Probability of Event B, given that Event A has already occurred.

இனி…

நிகழ்தகவு என்றால் என்ன?

இதற்கு பல வரையறைகள், விளக்கங்கள் உள்ளன.

  1. கிளாசிக்கல் விளக்கம்

பதினேழாம் நூற்றாண்டில் சூதாட்ட விளையாட்டில் உள்ள ஆர்வமூட்டும் சிக்கல்களில் இருந்து நிகழ்தகவு ஆரம்பிக்கிறது. ஃபெர்மா மற்றும் பாஸ்கல் இதன் பிதாமகர்கள். இருவரும் பிரஞ்சு நாட்டவர்கள்.

உதாரணமாக, ஒரு பகடையை உருட்டுவது அல்லது ஒரு நாணயத்தை சுண்டுவது போன்ற செயல்களை சோதனை எனலாம். {1,2,3,4,5,6}. இதுதான் நாம் ஒரு பகடையை உருட்டும்போது பெறும் சாத்தியங்கள். ஒரு நாணயத்தை சுண்டும்போது பூ, தலை என்ற இரு சாத்தியங்கள்.

ஒரு பகடையை வீசும்போதோ அல்லது நாணயத்தை சுண்டும்போதோ இந்த சாத்தியங்களில் எது நிகழும் என்று முன்கூட்டியே அறிய முடியாது. அவை அனைத்தும் சமவாய்ப்பு கொண்டவை. (Equally probable)

அதாவது சமவாய்ப்புகள் உள்ள n நிகழ்வுகளில் ஒரு நிகழ்வு நிகழ m வாய்ப்புகள் எனில் அதன் நிகழ்தகவை m/n என்ற விகிதமாக கணக்கிடலாம். அதாவது ஒரு பகடையில் இரட்டைப் பட எண் விழ மூன்று சாத்தியங்கள். (2,4,6). மொத்த பகடையின் சாத்தியங்கள் ஆறு. {1,2,3,4,5,6}. எனவே இரட்டைப் பட எண் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு 3/6 அல்லது 1/2 ஆகும்.

நியூட்டனின் அறிவியல் முழு நிர்ணயவாதம் என்ற தத்துவ நோக்கை முன்வைத்தது. அதாவது இந்த பிரபஞ்சம் ஒரு பெரிய முடுக்கிவிடப்பட்ட கடிகாரம் போல திட்டவட்டமான விதிகளின் அடிப்படையில் இயங்கிக்கொண்டிருக்கிறது. இந்த உற்சாகத்தின் உச்சமாக, லாப்லாஸ் என்ற கணிதமேதை பிரபஞ்சத்தில் உள்ள அனைத்து அணுக்களின் இடத்தையும் அவற்றின் திசைவேகத்தையும் அறிய முடிந்தால் எதிர்காலத்தில் (மற்றும் கடந்தகாலத்தில்) அவற்றின் நிலையை துல்லியமாக கணித்துவிடலாம் என்று கூறினார்.

அதாவது ஒரு பகடை உருட்டப்படும்போது அதன் ஒவ்வொரு அணுக்களின் இடத்தை நாம் துல்லியமாக அறிந்தால் பகடையில் விழும் எண்ணை முன்பே கணிக்கமுடியும். ஆகையால் நிகழ்தகவு என்பது நம் அறியாமையின் விளைவு அன்றி வேறொன்றுமில்லை என்று வாதிட்டார். இது தத்துவநோக்கில் காலவதியான பார்வை. (ஆனால் நடைமுறையில்  நிகழ்தகவை கணக்கிட பயன்படுகிறது.) ஏனெனில் இந்த வரையறை ஒருவகையான தர்க்கப்பிழையைக் கொண்டது. உதாரணமாக,

கடவுள் இருக்கிறார்.

எப்படி நம்புவது?

சுருதிகள் சொல்கின்றன.

சுருதிகளை ஏன் நம்ப வேண்டும்?

ஏனெனில் கடவுளின் வாக்குதான் சுருதி.

இது Circular reasoning எனப்படுகிறது. எதை நிரூபிக்க வேண்டுமோ அதையே ஆதாரமாக முன்வைப்பது. ஏனெனில் இங்கு நிகழ்தகவு என்பது சம வாய்ப்பு கொண்ட நிகழ்வுகள் என்ற ஊகத்தின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆனால் அவை சமவாய்ப்பு கொண்டவை என்று உண்மையிலே அறிய நிகழ்தகவை வரையறுக்காமல், கணக்கிடமால் எப்படி தெரிந்துகொள்வது?

  1. அடுக்குநிகழ்வு (Frequency) விளக்கம்

ஒரு நாணயத்தை சுண்டுகிறோம். பூ விழுவதின் வாய்ப்பு என்ன? அதை Frequency வரையறை இவ்வாறு கணக்கிடுகிறது.

Head or Tail Favourable cases i.e Number of Tails/ Total number of cases Remarks
T 1/1 One Tail in One coin flip
TH 1/2 One Tail in Two coin flips
THT 2/3 Two Tails in Three coin flips
THTT 3/4 Three Tails in Four coin flips
THTTH 3/5 Three Tails in Five coin flips

 

இந்த சோதனையை மிக அதிக முறை செய்துக்கொண்டே சென்றால் பூ விழுவதின் வாய்ப்பு ½ = 0.5 என்ற எண்ணை நோக்கி குவியும்.

1/1 = 1

1/2 = 0.5

2/3 = 0.67

3/4 = 0.75

3/5 = 0.6

இந்த குவியும் எண்ணை பூ விழுதல் என்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என வரையறுக்கலாம்.

இந்த விளக்கம் புறவயமாக நிகழ்தகவை வரையறுக்கிறது. அதாவது ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சோதனை மூலம் புறவயமாக பெறப்படுகிறது. இது ஒரு அறிவியல் விதி போல. இதை நிரூபணவாத விளக்கம் எனலாம். கிளாசிக்கல் விளக்கம் பகுத்தறிவு வாதத்தை முன்வைக்கிறது. பிரஞ்சு கணித மேதைகளின் பகுத்தறிவு விளக்கத்திற்கு பிரிட்டிஷ் கணித மேதைகளின் நிரூபணவாத பதிலடி. ஜான் வென் போன்றவர்கள் முன்வைத்தது.

இதில் உள்ள சிக்கல் என்னவென்றால் ஒரு நாணயம் சுண்டப்படவே இல்லை என்றால் அதன் நிகழ்தகவை வரையறுக்கமுடியாது. ஆனால் இந்த இடரை களைய ஒரு வழி உள்ளது. இந்தச் சோதனையை ஒரு புனைவு போல அகத்தில் நிகழ்த்த முடியும். Hypothetical frequency விளக்கத்தை அளிக்கமுடியும்.

ஒரே ஒரு முறை ஒரு நாணயம் சுண்டப்பட்டு அது பூ விழுந்தால் அதன் நிகழ்தகவு ஒன்று எனக்கணக்கிடுகிறது. இது ஒரு முரண். இது ‘ஒரே ஒரு சோதனை இடர்’ எனப்படுகிறது. ஒரே ஒரு முறை நிகழ்ந்த, நிகழப்போகும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைப் பற்றி பேசவதில் இந்த விளக்கத்தில் சிக்கல் உள்ளது. அடுத்த முறை மோடி பிரதம மந்திரி ஆவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

  1. Propensity விளக்கம்

ஒரு சோதனை இடரையும் முழுக்க முழுக்க புறவயமாக நிகழ்தகவை விளக்குவதற்கான முயற்சிதான் Propensity விளக்கம். இது கார்ல் பாப்பரால் வளர்த்தெடுக்கப்பட்டது. அதாவது ஒரு நாணயம் சுண்டப்படும் போது பூவோ தலையோ விழுவதற்கான நிகழ்தகவு சோதனையின் சூழலைப் பொறுத்தது. நாணயத்தின் ஆக்கம், சுண்டப்படும் விதம், காற்று, ஈர்ப்பு விசை போன்ற சூழல் காரணிகள் அனைத்தையும் சார்ந்தது. ஆனால் இது ஒரு தத்துவ பார்வை மட்டுமே. நிகழ்தகவை கணக்கிட எந்த வாய்ப்பாட்டையும் அளிப்பதில்லை.

ஒரே ஒரு சோதனையின் இடரையும் இது இவ்வாறே களைகிறது. உதாரணமாக, முதன் முதலாக செய்யப்பட்ட ஒரு இதய மாற்று அறுவை சிகிச்சை வெற்றிபெறுவதற்கான வாய்ப்பு 70 சதம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரே ஒரு நிகழ்வில் எப்படி சதவீதத்தைப் பற்றி பேசுவது? இந்த இடரை களைய இது பல உலகங்களை கற்பனை செய்துகொள்கிறது. கற்பனை உலகங்களின் மூலம் ஒரு சோதனையை பல உலகங்களில் செய்யப்படும் ஒரு சோதனை தொகுப்பாக மாறிவிடுகிறது. பின்பு இதன் நிகழ்தகவை 0.7 என்று வரையறுக்கலாம்.

  1. தர்க்க நிகழ்தகவு

கிளாசிக்கல் தர்க்கத்தில் A I- B என்று எழுதினால் A entails B என்று பொருள். இதன் அர்த்தம் A உண்மையாக இருந்தால் B யும் உண்மை.

கிளாசிக்கல் தர்க்கத்தில் ஆதாரகூற்றுகளிலிருந்து முடிவு திட்டவட்டமாக பெறப்படுகிறது. ஆனால் சில சூழல்களில் ஆதார கூற்றுகளிலிருந்து முடிவு தோராயாமாகத்தான் பெறமுடியும். அதை இப்படி எழுதலாம்.

P (B, A) = x,  A entails B to degree x.

இங்கு நிகழ்தகவானது deductive தர்க்கத்தின் நீட்சியாக பார்க்கப்படுகிறது. திட்டவட்டமான தர்க்க முறை சாத்தியம் இல்லாதபோது முடிவுகள் ஆதாரக் கூற்றுகளிலிருந்து தோராயமாப் பெறப்படுகிறது. இதை நிகழ்தகவு அடிப்படையில் அமைந்த தொகுத்தறிதல் தர்க்கம் எனலாம். அதை உறுதிபடுத்தும் (Confirmation) சமன்பாடாக இதை இப்படி எழுதலாம்.

C(B,A) = P (B,A)

உதாரணமாக, நாம் இதுவரை பத்து கருப்பு காகங்களை பார்த்திருக்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். Deductive தர்க்கத்தின் படி பத்து கருப்பு காகங்கள் இந்த உலகில் உள்ளன என்று உய்த்துணர்கிறோம். ஐந்து கருப்பு காகங்களை அவதானிப்பது பத்து கருப்பு காகங்கள் உள்ளன என்ற கருதுகோளை தோராயமாக உறுதிப்படுத்துகிறது. இரண்டு கருப்பு காகங்களை அவதானிப்பது இன்னும் குறைவான அளவு உறுதிப்படுத்துகிறது.

இது பின்பு இன்னும் கறாரக்கப்பட்டது.

C(H, E) = P (H, E) – P (H)

ஒரு ஆதாரம் (Evidence) ஒரு கருதுகோளின் (Hypothesis) நிகழ்தகவை எந்த அளவுக்கு உயர்த்துகிறதோ அந்த அளவுக்கு அந்த கருதுகோள் உறுதிசெய்யப்படுகிறது.

இங்கு பேசப்படும் நிகழ்தகவு அகநிலை நிகழ்தகவு. இதை கருதுகோளை முன்வைப்பவரின் நம்பிக்கை என்று சொல்லலாம். இந்த உறுதி கோட்பாட்டு பேய்சியன் உறுதி கோட்பாடு எனப்படுகிறது. ஒரு ஆதாரம் ஒரு கருதுகோளை உறுதிச் செய்கிறது என்பது அதை முன்வைப்பவரின் அறிவு நிலையுடன் சம்பந்தப்பட்டது.

  1. அகநிலை விளக்கம்

அகநிலை விளக்கப்படி நிகழ்தகவானது அக நிலை நம்பிக்கையாகப் (Subjective degree of belief) பார்க்கப்படுகிறது. ஒருவரின் நம்பிக்கை (credence) நிகழ்தகவு நுண்கணித மெய்க்கோள்களை நிறைவு செய்யவேண்டும். இதை அமைக்க டச்சு புத்தக வாதம் (Dutch book argument) என்ற முறை இருக்கிறது. அதன்படி ஒருவரின் நம்பிக்கையை கணித தர்க்கத்தில் கறாராகக் கொண்டு வரமுடியும்.

இந்த நம்பிக்கையின் முக்கியமான அம்சம் புதிய உண்மைகளை அறிய அறிய இந்த நம்பிக்கையும் மாற வேண்டும்.

இதைத்தான் பேய்சியன் விளக்கம் என்கிறோம். ஒருவரின் நம்பிக்கை நிகழ்தகவு மெய்க்கோள்களை நிறைவு செய்யவேண்டும். ஆதாரங்களை பெற பெற அவரின் நம்பிக்கை நிபந்தனை விதி மூலம் புதுப்பிக்கப்படவேண்டும்.

Credence New (H) = Credence Old (H,E)

இந்த விளக்கத்திலும் இரு பள்ளிகள் உள்ளன. அதை அகநிலை பேய்சியன் வாதம் மற்றும் புறநிலை பேய்சியன் வாதம் எனலாம்.

அகநிலை பேய்சியன் நம்பிக்கையானது நிகழ்தகவின் மெய்க்கோள்களை உறுதிசெய்வது மட்டும்தான் அதன் ஒரே நிபந்தனை. மேலும், ஒரு கருதுகோளின் முன் நிகழ்தகவு ஒன்று அல்லது சுழியாக மட்டும்தான் இருக்கமுடியும்.

புறநிலை பேய்சியன் வாதம் நம்பிக்கையானது நமது அறிவுநிலையையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும் என்கிறது. அதற்கு மேலும் சில நிபந்தனைகளை முன்வைக்கிறது. சுழி மற்றும் ஒன்று மட்டும் அல்லாமல் முன் நிகழ்தகவு அதற்கு இடைப்பட்ட எண்களையும் கொண்டிருக்கலாம்.

***

இந்த விவாதத்தை சார்ந்து மேலுள்ள விளக்கங்களின் சாரத்தை இவ்வாறு தொகுக்கலாம்.

  1. அறிவியல் முன்வைக்கும் ஒரு கருதுகோளின் அல்லது கோட்பாட்டின் நம்பகத்தன்மையை அளக்க சிறப்புவகை எண்களை பயன்படுத்துகிறோம்.
  2. எண்கள் கணிததர்க்கத்திற்கு உட்பட்டவை.
  3. இந்த எண்கள் கருதுகோளின் உறுதி அல்லது உறுதியற்றத்தன்மையைப் பற்றி பேசுவதால் அவை இன்னும் குறிப்பாக நிகழ்தகவு கணித தர்க்கத்திற்கு உட்பட்டது.
  4. நிகழ்தகவு என்பது சாதகமான நிகழ்வுகளுக்கும் மொத்த நிகழ்வுகளுக்கும் உள்ள விகிதம் ஆகும்.
  5. இந்த நிகழ்தகவு கணித முறைமை ஒரு அறிவியல் கருதுகோளின் கோட்பாட்டின் நம்பகத்தன்மையை உறுதிச்செய்கின்றன.
  6. அறிவியல் கருதுகோள்கள் பரிசோதனையின் மூலம் அடையும் சான்றுகளால் உறுதி செய்யப்படுகின்றன.
  7. சான்றும் கருதுகோளும் சார்புநிலை நிகழ்தகவின் அடிப்படையில் இணைக்கப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட வகை சான்று நிகழ்ந்திருக்கிறது என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில் கருதுகோளின் நிகழ்தகவு என்ன?
  8. ஒரு கருதுகோளின் முன்நிகழ்தகவு ஆரம்பநிலை அறிவு நிலையைச் சார்ந்து இருக்கவேண்டும்.
  9. சான்றுகளின் தன்மைக்கு ஏற்ப நிகழ்தகவு மாறும். அதை பின் நிகழ்தகவு என்கிறோம். இது சில அடிப்படைக் கொள்கைகளில் அமைந்த விதிகளின் அல்லது நிபந்தனைகளின் மூலம் புதுபிக்கப்படுகிறது.
  10. ஆதரவான சான்று என்றால் நிகழ்தகவு கூடும். எதிர் சான்று என்றால் நிகழ்தகவு குறையும்.
  11. நிகழ்தகவு கூடினால் கருதுகோள் உறுதியடைகிறது. குறைந்தால் கருதுகோள் வலிமை இழக்கிறது.
  12. ஒரு சான்று ஒரு கருதுகோளை உறுதிபடுத்தலாம். அல்லது வலிமை இழக்கச்செய்யலாம்.
  13. ஒரு நிகழ்வு நிச்சயமாக நிகழும் என்றால் அதன் நிகழ்தகவு ஒன்று. நிச்சயமாக நிகழ வாய்ப்பில்லை என்றால் நிகழ்தகவு சுழி.
  14. நிகழும் வாய்ப்பை பொறுத்து நிகழ்தகவு சுழிக்கும் ஒன்றுக்கும் இடையே இருக்கும்.

தொடரும்…

 

தொடர்புடைய பதிவுகள்

  • தொடர்புடைய பதிவுகள் இல்லை

Permanent link to this article: http://www.jeyamohan.in/96441